*Di halaman web/blog, harus menyertakan kata kunci: Kompetisi Website Kompas MuDA – KFC, yang bisa terbaca secara mudah. Lokasi penempatan kata kunci itu bebas.
*Penilaian meliputi kualitas tulisan, desain, tingkat popularitas dan peringkat web/blog kamu di Google. Juri akan menggunakan mesin pencari Google.co.id untuk mengecek peringkat web kamu dengan kata kunci: Kompetisi Website Kompas MuDA – KFC.
*Mencantumkan tautan balik (backlink) ke www.mudaers.com (sebuah link ketika diklik mengarah ke www.mudaers.com)
*Boleh memanfaatkan web/blog lama yang sudah ada atau bisa membuat web/blog baru.
*Web/blog yang dilombakan minimal memuat satu halaman tulisan (minimal 3.000 karakter termasuk spasi) dengan tema: Bangga Indonesia.
*Tulisan orisinal, tidak boleh copy-paste karya orang lain.
*Kirimkan alamat web/blog kamu ke email lombaweb@mudaers.com This e-mail address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it . Di email itu, cantumkan nama kamu, tempat/tgl lahir, alamat, nama sekolah/kuliah, nomor telepon, dan scan (bisa juga difoto) KTP/SIM/kartu pelajar/kartu mahasiswa. Subyek email adalah berupa alamat web/blog kamu.
*Link web/blog diterima panitia paling lambat 17 Februari 2010.

Hadiah Kompetisi:
Pemenang I : Uang Tunai Rp 3.000.000 Plus Hadiah Menarik
Pemenang II: Uang Tunai Rp 2.000.000 Plus Hadiah Menarik
Pemenang III: Uang Tunai Rp 1.000.000 Plus Hadiah Menarik

New Deal of the Mind

The initiative, less than a year old, has already formed a coalition of Cabinet ministers and leaders of the creative sector who believe that the UK must act immediately to prevent a generation of talent being lost to the economic recession of 2008-09.

NDotM developed from an article^[1] written by political journalist Martin Bright in the New Statesman in January 2009. Bright argued the deepening recession and rising unemployment levels could have potentially disastrous effects on the cultural and creative industries in Britain. He called for urgent action to prevent a generation of creative talent ending up on the scrapheap of unemployment. Bright drew on his own experience of the Enterprise Allowance Scheme introduced by Margaret Thatcher‘s government in 1983. The EAS guaranteed £40 a week for a year to people setting up their own businesses and is credited with laying the foundations of a new generation of entrepreneurs and artists, such as Alan McGee, Tracey Emin and Jane and Louise Wilson.

Half a century beforehand, US President Franklin D. Roosevelt’s Works Progress Administration had successfully put thousands of unemployed artists, writers, musicians and designers back to work during the Great Depression of the 1930s. These work programmes contributed enormously to America’s cultural heritage: 3,500 branch libraries were created, 4,400 musical performances were put on every month by the Federal Music Project, and a collection of oral histories were collated which featured the narratives of the living slaves. A number of US luminaries also benefited fro the scheme: Jackson Pollock, Mark Rothko, and Willem de Kooning and writers such as Saul Bellow, John Cheever and Ralph Ellison.

Such schemes, Bright believed, could be adapted to serve Britain in the 21st century. He called for a “New Deal of the Mind” to answer the threat of recession and to protect Britain’s creative economy.

The article attracted significant interest and quickly spawned a movement of active supporters. Just two months after publication of Bright’s original article, NDotM was launched on March 24, 2009 at Number 11 Downing Street

One Bright Shining Moment: The Forgotten Summer of George McGovern

It is narrated by Amy Goodman, with appearances by such luminaries as Women’s Movement leader, activist, and journalist Gloria Steinem, famous historian Howard Zinn, author Gore Vidal, former presidential candidate and McGovern ’72 campaign manager Gary Hart, satirist-activist Dick Gregory, and George McGovern himself.

The film won the Jury Prize Award for Best Documentary Feature at the 2005 Sarasota Film Festival.

Statistics

A statistician is someone who is particularly versed in the ways of thinking necessary for the successful application of statistical analysis. Often such people have gained this experience after starting work in any of a list of fields of application of statistics. There is also a discipline called mathematical statistics, which is concerned with the theoretical basis of the subject.

The word statistics can either be singular or plural. In its singular form, statistics refers to the mathematical science discussed in this article. In its plural form, statistics is the plural of the word statistic, which refers to a quantity (such as a mean) calculated from a set of data.

Dalam kategori tersebut, tim yang terdiri dari Aulia Wiratama, Bukit Raharja, Gadis Dewi Anggia Sari, Deafani Perdana, dan Pratitha Listu Lokahita berhasil mengalahkan tim dari Singapura, Vietnam, Jepang, Cina, dan Thailand. Pada kompetisi Moot Court itu sendiri, tim dari Filipina dan Nepal berhasil meraih akumulasi nilai terbesar, sehingga berhak atas Juara I dan Juara II.

“Setelah delapan kali mengikuti kompetisi Asia Cup ini, akhirnya kami berhasil membawa pulang sebuah prestasi yang sebelumnya tidak kami sangka,” ungkap Aulia Wiratama, salah seorang anggota tim yang hadir bersama tiga anggota tim lainnya saat berkunjung ke Ruang Website Unpad, Jln. Dipati Ukur 35 Bandung, Jumat (4/09). Wira, demikian biasa ia disapa menuturkan bahwa memorandum yang mereka kirimkan berhasil menjadi lima besar terbaik sehingga timnya mendapat kesempatan bertanding dengan biaya transportasi dan akomodasi dari pemerintah Jepang.

“Unpad merupakan satu-satunya perguruan tinggi dari Indonesia yang mendapat pembebasan biaya dari pemerintah Jepang. Dengan berangkat ke sana saja, kami sudah merasa bangga. Ternyata,  kami diberi lebih dari target kami sebelumnya, yaitu mendapat Juara III Best Memorials,” ujar Wira bangga.

Wira mengungkapkan bahwa Asia Cup International Law Moot Court Competition merupakan kompetisi tahunan yang diikuti oleh sejumlah perguruan tinggi se-Asia. Tahun ini, lanjut mahasiswa angkatan 2006 itu, tema masalah yang diangkat ke arena kompetisi adalah mengenai hak kaum minoritas dan masyarakat adat. Wira mengaku bahwa timnya harus berkutat dengan berkas-berkas perundang-undangan selama dua bulan untuk menghasilkan memorandum yang diinginkan.

“Setelah dikirim, ternyata berkas kami itu dinyatakan lolos mengikuti kompetisi di Jepang. Sejak pengumuman tersebut, setiap hari kami berlatih secara intensif,” ungkap Wira.

Partisipasi
Sementara itu, anggota tim lainnya Gadis Dewi Anggia Sari mengatakan bahwa sebagian besar mahasiswa FH mengaku tidak tertarik mengikuti kompetisi Asia Cup International Law Moot Court ini. “Setiap tahun, Unpad rutin mengikuti kompetisi ini. Namun, belum pernah lolos ke tahapan selanjutnya. Inilah yang menyebabkan kurangnya mahasiswa FH tertarik mendaftar sebagai peserta kompetisi ini,” ujar Gadis.

Gadis mengungkapkan bahwa dengan keberhasilan timnya mendapatkan prestasi pada kompetisi tingkat internasional tersebut, diharapkan dapat memicu semangat mahasiswa FH untuk mengikuti kompetisi ini. Ia juga mengatakan bahwa Unpad telah menyediakan begitu banyak sarana dan prasarana guna mendukung mahasiswa bertanding dalam suatu kompetisi.

“Nah, sekarang tinggal sumber daya manusianya yang diperlukan. Keberhasilan kami dalam kompetisi itu merupakan bukti bahwa Unpad sebenarnya bisa mengalahkan negara lain. Untuk itu kami berharap tahun depan dapat lebih banyak mahasiswa yang tertarik mengikuti kompetisi ini,” tutur Gadis.

PEUBAH ACAK GANDA

(MULTIPLE RANDOM VARIABLE)

Ingat Peubah Acak Tunggal

S dipetakan ke dimensi 1

Dalam peubah acak Ganda S dipetakan ke ruang dimensi 2

Peubah Acak Ganda Dua

S adalah ruang contoh yang dihasilkan oleh suatu tindakan dengan nilai-nilai peluang tertentu.

Definisi :

Peubah Acak (X,Y) disebut peubah acak ganda 2 diskrit adalah fungsi dari ruang contoh (S) ke himpunan bilangan beridimensi 2 (R²)

Definisi 4.1.2

Fungsi masa peluang fmp dari peubah acak ganda 2 (X,Y) adalah suatu fungsi sebagai berikut :

f_X,Y(x,y) = P[(X,Y)=(x,y)]=P(X=x,Y=y) untuk -¥ < x < ¥

-¥ < y < ¥

Peubah Acak Tunggal : Bernoulli

Peubah Acak Ganda

P(X,Y) = P(x=0, y=0)= P₁

P(X,Y) = P(x=0, y=1)= P₃

P(X,Y) = P(x=1, y=0)= P₂

P(X,Y) = P(x=1, y=1)= P₄

Sehingga fmp nya dapat ditulisakan sebagai berikut :

dengan

Berapa peluang nilai peubah acak berada dalam himpunan A

Nilai Harapan untuk suatu fungsi dari peubaha acak Ganda 2 (X,Y)

(x,y) = {(x,y), f_X,Y(x,y)>0} harus meliputi semua nilai peluang positif

Ilustrasi

Misalkan peubah acak Ganda 2 (X,Y) mempunyai fmp sebagai berikut :

Ambil g(X,Y) = XY

Peubah acak diskrit dengan fmp sebagai berikut :

Dari tabel di atas diperoleh fmp sebagai berikut :

dan

sedangkan :

( x , y ) = { (0,0), (0,1), (1,1), (1,2), (2,2), (2,3) }

E(X,Y) = (0)(0)(1/8)+ (0)(1)(1/8)+(2)(2)(1/8)+(2)(3)(1/8)+(1)(1)(2/8)+(1)(2)(2/8)

= (16/8)=2

Cari :

Definisi :

i)                    Fmp marginal untuk peuabah acak X adalah :

ii)                  Fmp marginal untuk peubah acak Y adalah :

f_X(x) = fmp untuk peubah acak x tanpa memperhatikan y

f_Y(y) = fmp untuk peubah acak y tanpa memperhatikan x

KEBEBASAN DISKRIT

Definisi :

Peubah acak X dan peubah acak Y disebut bebas jika :

f_XY(x,y) = f_X(x) f_Y(y) untuk semua (x,y) Î R²

Catatan :

Jika ada satuy (x,y) saja yang membuat f_XY(x,y) ¹ f_X(x) f_Y(y) maka peubah acak X dan peubah acak Y tersebut tidak bebas.

[f_X,Y(0,0) = 1/8] ¹ [f_X(0)=1/4][ f_Y(0)=1/8]

Peubah Acak Ganda

Kontinu

Vlume (Peluangnya)

KONTINU

f(x,y) : fungsi kepekatan peluang (fkp)

f(x,y)≥0

Peubah acak X,Y ditulis : f_X,Y(x,y)

Contoh :

1. Peubah acak (X,Y) dengan fkp sebagai berikut :

6xy² ≥ 0 untuk -¥ < x <¥ dan -¥ < y < ¥

Peluang diluar kotak adalah 0

Hitunglah P(Y<X)

Jawab :

Cara I :

Cara II :

1. Hitung peluang P(X+Y>1)

P(X+Y>1)=P[(X,Y)ÎDBCD]

Cara I :

Cara II:

1. Hitung peluang P(X² + Y²>1)

P(X²+Y²>1)=P[(X,Y)ÎH]

Peubah acak X dan Y merupakan fkp =f(x,y) untuk (x,y) ÎR² [-¥<x<¥ , -¥<y<¥]

Definisi :

1)      Fkp marjinal untuk peubah acak X adalah :

2)      Fkp marjinal untuk peubah acak Y adalah :

Ilustrasi

1. Peubah acak (X,Y) dengan fkp sebagai berikut :

Sehingga :

Sehingga :

1. Tentukan nilai C

LDABC= LDABE

Sehingga fkp peubah acak (X,Y) adalah :

a)      P(X+Y>1)=P[(X,Y)ÎBCD]

Cara II :

P(X+Y>1)=P[(X,Y)ÎDBCD]= P[(X,Y)Î DBDF]+ P[(X,Y)Î DDFC]

P(Y<X²) = 0

P(Y>X²+1/4 )

Pada koordinat (1/2,1/2)

Definisi 4.2.1 (Berlaku untuk peubah acak diskrit maupun peubah acak kontinu)

Misalkan peubah acfak (X,Y) mempunyai fmp / fkp f(x,y) untuk (x,y)Î R²

1. Fmp /fkp bersyarat dari peubah acak X bila nilai peubah acak Y=y diketahui adalah :

1. Fmp /fkp bersyarat dari peubah acak Y bila nilai peubah acak X=x diketahui adalah :

Ambil peubah acak (X,Y) dengan fmp :

Fmp bersyarat untuk peubah acak Y bila X=x

1)      Bila X = 0

2)      Bila X = 1

3)      Bila X = 2

f_X|Y(x|y)

f_Y|X(y|x)

Jika diketahui :

peubah acak di atas diperoleh dari peubah acak bebas di bawah ini

dan

Contoh :

Menggambar fungsi dari f_X(x)

Menentukan bentuk kurva apakah monoton naik ataukah monoton turun, apakah cekung ke atas atau kebawah :

Gambar ..

Menggambar fungsi dari f_Y(y)

Menentukan bentuk kurva apakah monoton naik ataukah monoton turun, apakah cekung ke atas atau kebawah :

jadi  f_Y(y) mencapai nilai maksimum

jadi untuk   maka f ’_Y(y) > 0 sehinga moton ke atas tapi untuk  f ’_Y(y) < 0 sehingga monoton ke bawah.

Menentukan apakah cekung ke bawah ataukah ke atas.

Kurva cekung ke bawah.

Fkp dari peubaha acak Y bila X=x adalah :

Untuk

Gambar :

Untuk

Gambar :

Fkp dari peubaha acak X bila Y=y adalah :

Untuk

Untuk

Gambar :

Definisi 4.2.3 : (Berlaku untuk peubah acak distrkit maupun kontinu)

Peubaha acak X dan Y dikatakan bebas (stokastik) jika dan hanya jika f(x,y) =f(x) f(y) untuk semua (x,y)ÎR².

Peubah acak X dan Y tak bebas jika ada satu saja yang tidak bebas sehingga f_X,Y(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)  untuk x = 0, 1, 2 dan y = 0, 1, 2

(x, y ) = (0,1/2) ® f(0,1/2)  = f_X(0)f_Y(1/2)

0      =  1/4 (0)

0      = 0

(x, y ) = (5,7)   ® f(5,7)  = f_X(5)f_Y(7)

0  = 0 (0)

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) untuk semua (x,y) ÎR²

sehingga X dan Y dikatakan bebas stokastik

Untuk 0 < x < 1 , 0 < y < 1

[f(x,y) = 6xy²] = f_X(x)f_Y(y)

= (2x)(3y²) = 6xy²

f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

berlaku untuk semua (x,y)ÎR²

Jika peubah acak X dan Y bebas, maka :

…………………………….Lanjutan…

Catatan :

a² + x² ® x = a tgn q

a² – x² ® x = a sin q

x² – a² ® x = a sec q

DUA PEUBAH ACAK BERSYARAT DAN BEBAS

Teorema 4.2.1

Diketahui peubah acak X dan Y bebas bila g(X) adalah fungsi dari X saja dan h(Y) adalah fungsi dari Y saja, maka :

E[g(X)h(Y)]= E[g(X)] E[h(Y)]

Bukti :

X dan Y bebas maka f(x,y)=f(x).f(y)

Teorema 4.2.2

Peubah acak X dan Y bebas maka f.m.o dari peubaha acak Z=X+Y adalah

M_Z(t)=M_X(t) M_Y(t)

Teorema 4.2.3

Jika peubaha acak X ~ N(m₁,s²₁) dan peubah acak Y ~ N(m₂,s²₂) maka peubah acak Z=X+Y mempunyai sebaran N(m₁+m₂,s²₁+s²₂)

Z ~ N(m₁+m₂,s²₁+s²₂)

DEFINISI :

Cov[X,Y] = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

= E{[X-m_X][Y-m_Y]}

= E[XY]- m_Xm_Y

Var[X] = E[X-E(X)]² = E[X²]-[E(X)]² = E[X²]-m_X² = s²_X

Var[Y] = E[Y-E(Y)]² = E[Y²]-[E(Y)]² = E[Y²]-m_Y² = s²_Y

DEFINISI KOEFISIEN KORELASI

Definisi koefisien korelasi linier dari peubah acak X dan Y adalah :

Jika X dan Y bebas maka

Cov[X,Y] = E[X]E[Y]- m_Xm_Y

=   m_Xm_Y -  m_Xm_Y = 0

r(X,Y) = 0

Dapat disimpulkan :

TRANSFORMASI PEUBAH ACAK GANDA

(X,Y) ® (U, V)

Ambil peubah acak diskrit (X,Y) dengan fmp sebagai berikut :

1) Dengan fungsi transformasi : (X,Y) ® (U,V)

U = X + Y

V = X – Y

Secara umum (X,Y) ® (U,V) dengan aturan sebagai berikut :

U = g₁(X,Y)

V = g₂(X,Y)

Gambar :

U = g₁(X,Y) = X + Y  ® x = h₁(u,v) = 1/2 (u+v)

V = g₂(X,Y) = X – Y  ® y = h₂(u,v) = 1/2 (u-v)

atau :

u + v = 2x        ® x = ½(u+v)

u – v = 2y         ® y = ½(u-v)

2) Dengan fungsi transformasi : (X,Y) ® (W,Z)

W = X + Y

Z  = |X – Y|

Secara umum (X,Y) ®  (W,Z)  dengan aturan sebagai berikut :

w = g₁(x,y) = x + y

z  = g₂(x,y) = |x – y|

(X,Y)               (W,Z)

(1,1)                 (2,0)

(1,2)                 (3,1)

(1,3)                 (4,2)

(2,1)                 (5,1)

(2,3)

(3,1)

(3,2)

(3,3)                 (6,0)

Gambar :

3) Tranformasi

U=X-Y            u=g₁(x,y)=x-y

V=XY             v=g₂(x,y)=xy

TRANFORMASI PEUBAH ACAK KONTINU GANDA DUA

(X,Y) ® (U,V)

Ingat peubah acak tunggal :

f_X(x)    ® f_Y(y)

x          ® Y=g(X)

x      ® y

x ={x; f_X(x)>0}® y={y;f_Y(y)>0}

Sehingga :

1. 1. Tranformasi Satu ke Satu

Dengan aturan sebagai berikut :

Ilustrasi :

Sehingga fkp dari peubah acak (U,V) diperoleh sebagai berikut  :

Dengan :

Contoh peubah acak (X,Y) dengan fkp sebagai berikut :

X~N(0,1)

Y~N(0,1)

Peubah acak X dan Y bebas

Tranformasi :

U = X+Y               – ¥<x<¥          – ¥<u<¥

V = X-Y                – ¥<y<¥          – ¥<v<¥

u=g₁(x,y)=x+y       x=h₁(u,v)=1/2(u+v)

v=g₂(x,y)=x-y        y=h₂(u,v)=1/2(u-v)

Fkp untuk peubah acak (U,V) adalah :

Perhatikan :

U ~ N(0,2)

V ~ N(0,2)

U=(X+Y) ~ N(0,2)

V=(X-Y) ~ N(0,2)

04- Mei 2007

PEUBAH ACAK DISKRIT

Bukti

f_X(1) = 1/3

f_Y(1)=2/3

f_XY(1,1) = 1/3

f_X(x) f_Y(y)¹f_XY(x,y)

sehingga r_(X,Y) = 0 namun karena                              f_X(x) f_Y(y)¹f_XY(x,y) maka terbukti bahwa r_(X,Y) = 0 tidak berarti peubah acak X dan Y bebas.

PEUBAH ACAK KONTINU

Gambar f_X(x)

Gambar f_Y(y)

Cov[X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]=1/3 – 1(1/3)=0 ® r(X,Y)=0

Misalkan ambil x = ¼ dan y = ½ .

f_X,Y(x,y) =  f_X,Y(¼,½) = 0 karena x<y seharusnya x>y

f_X(x) = f_X(¼) = ¼

f_Y(y) = f_Y(½) = 1

f_X,Y(x,y) ¹ f_X(y) f_Y(y)

TRANSFORMASI PEUBAH ACAK GANDA (1 – Ke – 1 )

Peubah acak (X,Y) dengan fkp :

A={(x,y); f_X,Y(x,y) > 0 }

Transformasi (X,Y) ® (U,V)

Aturan :

u = g₁(x,y) ® x = h₁(u,v)

v = g₂(x,y) ® y = h₂(u,v)

fkp untuk peubah acak (U,V) adalah :

dengan B={(u,v); f_U,V(u,v) > 0 }

Ilustrasi :

Peubah acak (X,Y) dengan fungsi fkp sebagai berikut :

A={(u,v); 0<x<2, 0<y<1 }

Tranformasi :

A =ABCD      ®  B =A’B’C’D’

Fkp untuk peubah acak (u,V) adalah :

Perhatikan pembagian wilayah  untuk gambar di atas

B = IÈIIÈIII

I   = { (u,v); 0<u<1, -u<v<u}

II  = { (u,v); 1<u<2, u-2<v<u}

III = { (u,v); 2<u<3, u-2<v<4-u}

Atau :

B = AÈBÈC

A  = { (u,v); -v<u<v+2, -1<v<0}

B  = { (u,v); v<u<v+2, 0<v<1}

C  = { (u,v); v<u<4-v, 1<v<2}

Fkp marjinal unutk peubah acak U

Perhatikan :

Fkp marjinal unutk peubah acak V

Perhatikan :

1 – ke – 1 Matriks non singular (Determinan ¹ 0 )

Tranformasi 2 – ke – 1

1.a (X,Y) dengan fkp

A={(u,v); 0<x<2, 0<y<1 }

V = Y  ® v = y

Gambar :

(x,y) Î AEFD ® (u,v) Î A’E’F’D’

(x,y) Î BEFC ® (u,v) Î B’E’F’C’

dimana : A’E’F’D’ = B’E’F’C’

Untuk : 0 <x < 1

u = 1 –x  bailkan x = 1- u

v = y                    y = v

Untuk : 1 <x < 2

u = x – 1  bailkan x = 1+ u

v = y                    y = v

A = ABCD     2 – ke – 1 ® B = A’C’F’E

B = {(u,v), 0<u<1, 0<v<1}

Fkp untuk peubah acak (u,v) adalah :

Fkp marjinal untuk peubah acak U

Fkp marjinal untuk peubah acak V

Gambar

Transformasi Campuran

Peubah acak (X,Y) dengan fungsi fkp sebagai berikut :

A={(u,v); 0<x<2, 0<y<1 }

Tranformasi :

U = |X-Y|        V=X+Y

v = x + y

Gambar

Untuk x > y ® (x,y)Î DAEF ÈEBCF

Untuk x < y ® (x,y)Î DAFD

2 – ke – 1

[(x,y)ÎDAFD] ® [(u,v)Î DA’F’D’]

[(x,y)ÎDAFE] ® [(u,v)Î DA’F’E’]

dimana DA’F’D’ = DA’F’E’

1 – ke – 1

[(x,y)Î BCFE] ® [(u,v)Î DB’C’F’E’]

DA’D’F’ = {(u,v)

BEBERAPA PEUBAH ACAK

3.1 Peubah Acak Diskrit

1. 1. Peubah Acak Bernoulli

Peubah acak bernoulli dihasilkan dari percobaan bernoulli (nama dari James Bernoulli). Percobaan ini hanya menghasilkan dua peristiwa.

Tindakan :

Pelantunan sekeping mata uang sebanyak satu kali dengan P(M) = p.

Dengan 0 < p < 1

Peubah acak

X disebut peubah acak Bernoulli.

X : Banyaknya sisi M yang muncul dari satu kali lemparan

X

S                       R

Percobaan Bernoulli menghasilkan dua kategori kejadian yaitu Sukses dan Gagal. Sukses diartikan sebagai kejadian yang sedang diamati.

Misalkan kejadian muncul muka maka kejadian sukses adalah munculnya muka dalam pelantunan sekeping mata uang sebanyak satu kali.

Contoh 2 :

Tindakan :

Mengamati masa hidup seorang bayi.

P(X=1) = p

P(X=0) = 1- p

Fungsi masa peluang f.m.p dari peubah acak Bernoulli

Menentukan E[X], Var[X] dan M_X(t)

Ekspektasi E[X]

Varians Var[X]

Var[X] = E[X²] – (E[X])²

Var[X] = p – p² = p (1- p)

Atau :

Fungsi Pembangkit Momen

Rangkuman Peubah Acak Bernoulli

Ekspektasi E[X]  = p

Varians     V[X]  = p(1-p)

Fpm          M_X(t)  = 1- p + pe^t

1. 2. Peubah Acak Uniform Diskrit

Tindakan :

Pengambilan secara acak sebuah bola degan bilangan dari himpunan bilangan { 1, 2, …,n}

Diambil 1 bola

Karena pengambilan dilakukan secara acak, maka peluang terambilanya setiap angka adalah sama yaitu 1/n

X = bilangan yang terambil

Fungsi Masa Peluang Peubah Acak Diskrit Uniform

Ekspektasi (E[X]), Varians (Var[X]) dan Fungsi Pembangkit Momen (M_X(t))

Untuk menghitung Ekspektasi dan variansi dari fungsi masa peluang uniform diskrit maka harus diketahui :

Bukti:

Mengunakan Induksi Matematika

Untuk n = 1Þ 1(1+1)(2(1)+1)/6 = 1              Terbukti

Anggap benar untuk n bilangan bulat positif  akibatnya :

Fungsi pembangkit momen

Untuk memudahkan dalam mencari E[X] dan Var[X] dari fungsi pembangkit momen, fungsi yang dipakai adalah :

*) Mencari ekspektasi :

*) Mencari varians

Rangkuman Peubah Acak Uniform Diskrit

Ekspektasi E[X]  =

Varians     V[X]  =

Fpm          M_X(t)  =

1. 3. Peubah Acak Binomial

Jika satu percobaan dilakukan sebanyak 1 kali dengan kategori kejadian sukses dan gagal maka peubah acak dari hasil percobaan ini dikatakan sebagai peubah acak Bernoulli. Jika percobaan dilakukan lebih dari satu kal  dengan kategori kejadian sukses dan gagal maka peubah acak dari hasil percobaan ini dikatakan sebagai peubah acak binomial

Tindakan :

Pelantunan sekeping mata uang P(M) = P sebanyak n kali.

X = banyaknya sisi M yang muncul dari n kali lemparan. Sehingga X =0 , 1, 2, …, n

X =0  menunjukkan bahwa tidak pernah muncul M dari pelembaran sebanyak n kali.

X =1 menunjukkan bahwa muncul M sebanyak 1 kali dari pelembaran sebanyak n kali.

X =2 menunjukkan bahwa muncul M sebanyak 2 kali dari pelembaran sebanyak n kali.

………………………………………………………………………………………

X =n menunjukkan bahwa muncul M sebanyak n kali dari pelembaran sebanyak n kali.

Ingat kembali kasus pelantunan sekeping mata uang logam setimbang sebanyak 3 kali.

S={MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BBM, BBB}

Grafik peluangnya :

Ilustrasi :

Pelantunan sekeping mata uang logam sebanyak n kali.

Kejadian sukses adalah munculnya Muka (M) dengan P(M) = P dari pelantunan sebanyak n kali.

Distribusi munculnya Muka (M)

Menghitung Ekspektasi, Varians dan Fungsi pembangkit momen peubah acak binomial.

Fungsi Pembangkit Momen

Rangkuman Untuk Peubah Acak Binomial

Ekspektasi       E[X]    = np

Varianse          Var[X] = np(1-p)

Fpm                 M_X(t)   = [pe^t – (1-p)]ⁿ

Jika kejadian setimbang maka p = ½ dan 1- p = ½

Contoh :

Diperoleh informasi bahwa peluang sembuh pasien DBD mengkonsumsi obat X adalah sebesar 80%. Sebanyak 10 orang penderita DBD diambil secara acak. Setelah mengkonsumsi obat X, tentukan peluang :

1. Tidak ada pasien yang sembuh
2. Terdapat seorang pasien yang sembuh
3. Paling banyak 8 orang pasien yang sembuh
4. Pasien yang sembuh lebih dari 6 orang
5. Pasien yang tidak sembuh kurang dari 3

Jawab :

Distirbusi peluang Binomial

1. Tidak ada pasien yang sembuh

P(X=0) = 0.0000001024

1. Terdapat seorang pasien yang sembuh

P(X=1) = 0.0000040960

1. Paling banyak 8 orang pasien yang sembuh

P(X£ 8 ) = P(X=0) + P(X=1) + .. + P(X=8) = 0.6241903616

1. Pasien yang sembuh lebih dari 8 orang

P(X>8) = 1-P(X£ 8 ) = 1-  0.6241903616 = 0.3758096384

1. Pasien yang tidak sembuh kurang dari 3

P(X>7) = P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) = 0.6777995264

1. 4. Peubah Acak Poisson

Misalkan ada sebanyak M wadah. Dalam setiap wadah terdapat beras sebanyak masing-masing n ® ¥ butir beras. Jika diketahui bahwa peluang terdapatnya gabah dalam setiap wadah P ® 0 maka untuk menghitung peluang sebanyak x gabar dalam wadah beras dapat digunakan distribusi poisson.

n  = banyaknya butir beras dalam sebuah wadah

X = banyaknya gabah dalam n butir beras

p = peluang terdapatnya butir gabah

Ambil X sebagai peubah acak binomial B(n,P)  x = 0, 1, 2…n. Jika n ® ¥ dan P ® 0 dan . Maka peubah acak X tersebut menjadi peubah acak poisson dengan fungsi masa peluang (f.m.P) sebagai berikut :

dengan e adalah bilangan eksponen = 2,71828

dengan

Mencari Ekspekstasi, Varians dan Fungsi Pembangkit Moment Poisson

Rangkuman Untuk Peubah Acak Poisson

Ekspektasi       E[X]    = l

Varianse          Var[X] = l

Fpm                 M_X(t)   =

1. 5. Peubah Acak Geometrik

Tindakan :

Pelantunan sekeping mata uang logam P(M) = p, dengan nilai p antara 0 dan 1. ( 0 < p < 1 ) berkali-kali sampai muncul sisi M.

X = banyaknya lemparan yang diperlukan sampai muncul sisi M

Ilustrasi :

Pelantunan sebuah mata uang logam sampai munculnya sisi M dengan P(M) = p.

P(X=1) = P(M) = p

P(X=2) = P(BM) = P(B)P(M) = (1-p)(p)

P(X=3) = P(BBM) = P(B)P(B)P(M) = (1-p)²(p)

………………………………………………………………….

P(X=x) = P(BBM) = P(B)P(B)….P(M) = (1-p)^x-1(p)

Contoh:

Pasangan yang baru menikah berharap memiliki anak laki-laki. Jika diketahui peluang lahir anak laki-laki sama dengan lahirnya anak wanita P(L) = P(W) = ½, tentukan peluang bahwa anak laki-laki adalah anak ke tiga.

Jawab :

P(X=3) =(1-1/2)²(1/2) = 1/8

Sehingga jika P = ½ maka bentuk f.m.p peubah acak geometrik adalah :

Fungsi Masa Peluang dari Peubah Acak Geometrik :

Var[X] = E[X²] – (E[X])²

Rangkuman Peubah Acak Geometrik

1. 6. Peubah Acak Binom Negatif

Tindakan :

Pelantunan sekeping mata uang logam P(M) = P, 0 < x < P berulang kali sampai munculnya sisi M sebanyak r kali.

X = banyaknya lemparan yang diperlukan sampai sisi M muncul sebanyak r kali

Jika r = 1 maka peubah acak binom negatif memiliki fungsi masa peluang sama dengan peubah acak geometrik

Fungsi Masa Peluang peubah acak binom negatif

Ilustrasi :

Pelantunan mata uang logam sebanyak x kali diperoleh M sebanyak r kali

Dari pelemparan sebanyak x-1 kali akan diperoleh :

Muncul M sebanyak : r -1 kali

Muncul B sebanyak : (x-1)-(r-1) = x-r kali

Jika Y menyatakan munculnya sisi B dalam pelantunan mata uang logam sebanyak x-1 kali  atau  Y = (x-1)-(r-1), maka x = y + r

X = r hanya untuk Y = 0

X = ¥ hanya untuk Y = ¥

Fungsi masa peluang untuk peubah acak Y

Fungsi pembangkit momen

Y = banyaknya lantunan untuk memungkinkan M sebanyak r kali dikurangi r atau banyaknya sisi B yang muncul dari tindakan.

Rangkuman Peubah Acak Binom Negatif

1. 7. Peubah Acak Hipergeometrik

Dalam sebuah wadah terdapat N bola. M bola berwarna HITAM dan (N-M) bola berwarna Kuning. Dengan ketentuan bahwa M £ N

Tindakan :

Abil secara acak tanpa pemulihan sebanyak K bola (K £ N ).

X = banyaknya bola hitam yang terambil dari K bola yang terambil

Ilustrasi :

Dalam kotak tersebut terdapat sebanyak N bola yang terdiri dari M bola hitam dan N-M bola kuning. Dilakukan pengambilan secara acak sebanyak K bola. Variabel aca X menyatakan banyaknya bola hitam dari K bola yang terambil. Tentunya bola hitam diambil dari M bola hitam dan bola kuning dari N-M bola kuning.

Fungsi Masa Peluang Peubah Acak Hipergeometrik :

Rangkuman Peubah Acak Binom Negatif

3.2 PEUBAH ACAK KONTINU

DEFINISI :

DEFINISI :

Fungsi densitas fkp (probability density function) dari peubah acak kontinu adalah f_X(x) untuk -¥ < x ¥ yang bersifat sebagai berikut :

1. 1. Peubah Acak Uniform (a, b) dengan a < b

Fungsi densitas dari peubah acak uniform adalah :

Grafik fungsi uniform f_X(x) – ¥ < x < ¥

1/(b-a)

Fungsi distribusi komulatifnya F_X(x)

Mencari Ekspektasi, Variansi, dan fungsi pembangkit momen peubah acak Uniform.

Fungsi Pembangkit Momen

Rangkuman Peubah Acak Uniform Diskrit

1. 2. PEUBAH ACAK GAMMA

Peubah acak gamma memiliki dua parameter yaitu a dan b dengan a, b > 0

Fungsi densitas :

Ingat bahwa :

Mencari Ekspektasi, Varians dan Fungsi pembangkit momen peubah acak Gamma

1. 3. Peubah Acak Eksponensial

Bila a = 1 maka peubah acak gamma menjadi peubah acak eksponensial dengan fkp sebagai berikut :

Ilustrasi : Pendapatan

Orang yang berpendapatan rendah banyak, makin besar pendapatan makin sedikit

Gambar Distribusi Eksponensial

Didasarkan pada distribusi Gamma, maka diperoleh ekspektasi, varians dan fpm sebagai berikut :

Ekpspektasi     E[X]    = b

E[X²]   = 2b²

Varianse         Var[X]  = b²

Fpm                 M_X(t)   = (1-bt)^-1

1. 4. Peubah Acak Beta (a,b)

Fungsi densitas peubah acak X adalah :

disebut fkp karena f(x|a,b) ³ 0 dan              a, b Î R

1. 5. Peubah Acak Normal

fungsi densitas peubah acak normal adalah :

Menggambarkan Kurva Normal

Jika x = m maka

Sedangkan > 0 untuk -¥ < x < m . Ini berarti bahwa  adalah fungsi monoton naik untuk -¥ < x <m.

Selanjutnya < 0 untuk m < x < ¥ . Ini berarti bahwa  adalah fungsi monoton turun untuk m < x < ¥.

Titik maksimum dari kurva normal. Menentukan nilai maksimum dari suatu fungsi adalah mencari turunan kedua fungsi tersebut yang lebih kecil dari nol. Kurva normal akan maksimum pada <0.

Jika x = m maka  = < 0

Jadi dapat dsimpulkan bahwa :

mencapai nilai maksimum bila x = m

Gambar Kurva Normal

Mencari Ekspektasi, Varians dan Fungsi Pembangkit Momen Peubah Acak Normal.

Mencari Varians

Var(X)=E[X-E(X)]² = E[X-m]²

Fungsi Pembangkit Momen

Rangkuman Peubah Acak Normal

Ekspektasi       E[X]    = m

Varians            V[X]    = s²

Fpm                 M_X(t)   =

1. 6. Peubah Acak Weibull

(ambil dari diktat Pa Peris)   gue belum nyempet  begadang lagi   !!!!!

PENGANTAR

1.1 Teori Himpunan (Set Teory)

Himpunan merupakan gabungan dari unsur-unsur yang bisa berupa apa saja baik benda, manusia ataupun bilangan. Unsur biasanya dituliskan dalam hurup kecil Yunani, himpunan biasanya dilambangkan dengan hurub besar latin, dan himpunan semesta dilambangkan dengan S. Himpunan biasanya ditulikan dalam kurung kurawal { }.

Contoh himpunan :

A = { 1, 2, 3, …, 10 } → Menyatakan himpunan bilangan bulat dari 1 – 10

Himpunan di atas dapat ditulis tidak berurutan yang juga tetap menyatakan himpunan bulangan bulat dari 1 – 10. A={ 7, 8, 1 ,…, 9}

{ a, b, c, …, i} → Objek atau benda yang dapat dicacah menjadi bilangan bulat.

Dilihat dari cara penghitungannya, himpunan dapat dibedakan menjadi dua yaitu :

1. DISKRIT  (Countable) / Dapat dihitung
   1. Terhingga (finite)

Contoh : Banyaknya pohon di hutan

1. 1. Tak terhingga (Infinite)

Contoh : Banyaknya bilangan bulat positif.

Contoh penulisan himpunan diskrit :

A = { 1, 2, 3, …, 10 } = {x; x bilangan bulat 1 ≤ x ≤ 10 }

1. KONTINU (Uncountable)

Contoh : Banyaknya bilangan antara 0 dan 1

Contoh penulisan himpunan kontinu :

B = {x; x himpunan bilangan 0 ≤ x ≤ 1 }

1.1.1 Diagram Venn

Untuk memudahkan dalam melakukan analisis operasi himpunan biasanya digambarkan dalam bentuk diagram Venn. Namun diagram ini tidak dapat diandalkan untuk pembuktian.

Contoh Diagram Venn

1.1.2 Operasi Himpunan

Pada dasarnya ada tiga operasi himpunan yaitu :

1. Gabungan “È”
2. Irisan “Ç”
3. Komplemen “ ^C” = ‘ =  ^-

Contoh Operasi Himpunan

A = { 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

B = { 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 }

C = { 15, 16, 17, …, 40 }

AÈB = { 1, 2, 3, …,10, 11, ….., 20 }

AÈC = { 1, 2, 3, …, 10, 15, 16, …, 40 }

AÇB = { 8, 9, 10 }

AÇC = {  } = f

A^C = { 11, 12, 13, ….}

TEOREMA 1.1.1

Misalkan A, B, C merupakan kejadian-kejadian dalam ruang contoh S :

a. Komutatif                AÈB = BÈA = A+B  = {x|xÎA atau xÎB}

AÇB = BÇA = A*B  = {x|xÎA dan xÎB}

b. Asosiatif                  AÈ(BÈC) = (AÈB)ÈC = A+B+C

AÇ(BÇC) = (AÇB)ÇC = A*B*C

c. Distributif                AÈ(BÇC) = (AÈB)Ç(AÈC) = (A+B)*(A+C)

AÇ(BÈC) = (AÇB)È(AÇC) = A*B+A*C

d. DeMorgan’s            (AÈB)^C = (A^CÇB^C) = A^C* B^C

(AÇB)^C = (A^CÈB^C) = A^C+ B^C

DEFINISI 1.1.3

A dan B disebut terputus (disjoint) / saling lepas/saling eksklusif jika AÇB = f

A₁, A₂, …,A_i, …  disebut himpunan saling terputus/saling asing (pairwise disjoint) jika A_iÇA_j =  f untuk semua i ≠ j

i = 1, 2, 3, ….

j = 1, 2, 3, ….

DEFINISI 1.1.4

A₁, A₂, … , A_i,….. disebut sekatan (partition) dari himpunan semesta  S jika dan A_iÇA_j =  f semua i ≠ j dengan n dapat mencapai nilai tak hingga ( n →¥)

Banyaknya unsur himpunan A dinotasikan dengan n(A), yaitu banyaknya unsur yang dikandung oleh A. Misalkan A = {a,b,c,d}, maka n(A)=4.

Jika B={1,2,3,q,r,2,1}, maka n(B)= ??.

Sehubungan dengan dengan banyaknya unsur himpunan, berlaku:

n(AÈB)     = n(A)+n(B)-n(AÇB)

n(AÈBÈC)= n(A)+n(B)+n(C)-n(AÇB)-n(AÇC)-n(BÇC)+ n(AÇB ÇC)

Latihan 1 :

1. Misalkan A dan B adalah 2 kejadian. Gambarkan dengan diagram venn serta tentukan bentuk aljabar dari kejadian berikut :
   1. A terjadi sedangkan B tidak terjadi
   2. Salah satu dari A dan B terjadi, tetapi tidak dua-duanya
2. Misalkan A, B, dan C adalah kejadian. Gambarkan dengan diagram venn serta tentukan bentuk aljabar dari kejadian berikut :
   1. A dan B keduanya terjadi tetapi C tidak
   2. Hanya A yang terjadi

1.2 Model PELUANG (Aljabar Kejadian)

Definisi 1.2.1

Suatu percobaan/eksperimen adalah proses yang mana pengamatan dilakukan.

Definisi 1.2.2

Suatu kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang tidak dapat dipecah. Setiap kejadian sederhana berpadanan dengan satu dan hanya satu titik sampel.

Definisi 1.2.3

Ruang sampel yang dihubungkan dengan percobaan adalah himpunan yang terdiri atas semua titik sampel yang mungkin.

Peluang sering dikatakan sebagai harapan terjadinya suatu kejadian dari hasil suatu percobaan. Peluang meliputi ruang sampel terbilang dan tidak terbilang. Di bawah ini diperlihatkan kesepadanan antara Aljabar Himpunan dengan Peluang (Aljabar Kejadian )

Ilustrasi

Kasus 1 :

Percobaan/Eksperimen: Pelantunan satu kali Sebuah Dadu

Peristiwa (outcome): Munculnya satu sisi dari hasil pelantunan

Kejadian sederhana: E₁ = hasil angka 1, E₂ = hasil angka 2,  …, E₆ = hasil angka 6

Kejadian          : Muncul sisi genap ——>   A : Muncul sisi genap     A={ 2, 4, 6 }

Muncul selain sisi genap –>  A^C = { 1, 3, 5 }

Munculnya sisi bernomor > 1 —– >   B = { 2,3,4,5,6 }

Ruang Sampel : Semua peristiwa yang mungkin tejadi dari hasil tindakan

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Himpunan Kosong : Muncul sisi lebih dari 6

Diagram Venn kasus di atas.

Latihan 2:

1. Tentukan ruang sampel dari distribusi anak pada suatu keluarga yang memiliki 3 anak, serta hitung peluang bahwa keluarga tersebut punya susunan keluarga PLL
2. Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan :

1. Ruang sampelnya
2. Nyatakan secara eksplisit kejadian berikut:
   • X = {M=muka dan bilangan genap yg muncul}
   • Y = {bilangan prima yang muncul}
   • Z = {B=belakang dan bilangan ganjil yang muncul}
   • X atau Y terjadi
   • Y dan Z terjadi
   • Hanya Y terjadi

Himpunan Bagian (Subset)

Jika setiap peristiwa dalam kejadian A adalah juga peristiwa dalam kejadian B, maka dikatakan A bagian dari B (A subset B). Operasi himpunan bagian biasanya dilambangkan dengan “Ì “ namun banyak buku yang melambangkan dengan “ Í “. Untuk lambang pertama “Ì “,  misalkan A himpunan bagian B dapat ditulis A Ì B. Dalam kasus ini unsur A < B. Sedangkan untuk lambang kedua misalkan A himpunan bagian B. Dalam kasus ini unsur A ≤ B, atau dengan kata lain A bisa lebih kecil dari B atau A sama dengan B.

A < B

A Í B

A = B

Masih pada Kasus 1

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

A : Muncul sisi genap             A = { 2, 4, 6 }

A Í S

f Í S

S Í S

Misalkan :

A : Muncul sisi genap                         A = { 2, 4, 6 }

B : Munculnya sisi bernomor > 1        B = { 2,3,4,5,6 }

Maka dapat dikatakan A bagian dari B atau ditulis AÌB

1.2.1 Nilai Peluang

Peluang pada dasarnya ingin memberikan nilai pada kejadian, dimana kejadian masih dalam ruang lingkup pembicaraan atau memenuhi ketiga syarat Medan Borel (B). Nilai yang diberikan pada kejadian mencerminkan harapan kita pada munculnya satu kejadian. Peluang dilambangkan dengan P(…)

Definisi 1.2.4

Andaikan percobaan telah dihubungkan dengan ruang sampel S. Terhadap setiap kejadian A di S (AÌS) kita menetapkan suatu bilangan P(A), disebut peluang A, sehingga aksioma berikut dipenuhi,

Aksioma 1 : P(A) ≥ 0

Aksioma 2 : P(S) = 1

Aksioma 3 : Bila A_1, A₂, …membentuk barisan kejadian yang saling eksklusif (A_iÇA_j = f, i ≠j ) di S, maka P(A₁ÈA₂ÈA₃…)= P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)+ …

Menghitung peluang

Secara umum langkah-langkah yang digunakan untuk menghitung peluang kejadian adalah :

1. tentukan eksperimen
2. tentukan ruang sampel S, yg berisi keumngkinan kejadian
3. Tentukan peluang tiap titk Sampel,  yang memnuhi P(E_i) ≥ 0, dan ∑P(E_i)=1
4. Tentukan kejadian A yang menjadi perhatian
5. Hitunglah P(A)

Contoh: Kasus 1

Tentukan ruang sampelnya, titik sampel A, B, peluang akan kejadian sederhana serta aksioma di atas dipenuhi:

Jawab:

Eksperimen : pelantunan satu kali dari sebuah dadu

Ruang Sampel  : S = {1,2,3,4,5,6}

Titik sampel  A : Muncul sisi genap    A={ 2, 4, 6 }

Titik sampel  B : Munculnya sisi bernomor > 1          B = { 2,3,4,5,6 }

Jika dadunya seimbang maka harapan kita akan munculnya sisi sisi dadu dengan 6 pada satu kali pelantunan tentunya masing-masing P(A_i)=1/6.

Muncul Sisi                Peluang

1                                                        1/6

2                                                        1/6

3                                                        1/6

4                                                        1/6

5                                                        1/6

6                                                        1/6

Sehingga :

P(A) = P(2) + P(4) + P(6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

P(B) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6

Atau secara umum peluang kejadian seimbang adalah :

n = banyaknya peristiwa/unsure

Contoh:

A dan B bermain tenis, dimana keungkinan A menang 2 banding 1. Jika Bereka bertanding 2 kali, tentukan peluang A menang paling sedikit 1 kali.

Jawab:

• Eksperimen : pengamatan pemenang setiap pertandingan antara A melawan B
• R Sampel     : E₁ : AA, E₂ : AB, E₃ : BA, E₄ : BB
• Pel kejadian sederhana: P(E₁) = 2/3.2/3=4/9,  P(E₂) = 2/9, P(E₃) = 2/9, P(E₄) = 1/9
• Kejadian: A menang paling sedikit 1 kali: C = E₁ È E₂ È E₃
• Peluang A menang paling sedikit 1 kali : P(C) = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃) = 6/9

Latihan 3 :

1. Misalkan suatu ruang sampel S terdiri 4 titik : S= {a₁, a₂, a₃, a₄}. Fungsi mana yang mendefinisikan suatu ruang kemungkinan pada S ?

a. P(a₁) = 1/2   ,  P(a₂) = 1/3  ,  P(a₃) = 1/4   , dan P(a₄) = 1/5

b. P(a₁) = 1/2   ,  P(a₂) = 1/4  ,  P(a₃) = -1/4   , dan P(a₄) = 1/2

c. P(a₁) = 1/2   ,  P(a₂) = 1/4  ,  P(a₃) = 1/8   , dan P(a₄) = 1/8

d. P(a₁) = 1/2   ,  P(a₂) = 1/4  ,  P(a₃) = 1/4   , dan P(a₄) = 0

1. Misalkan sebuah dadu dilemparkan sedemikian rupa sehingga nilai kemungkinan suatu mata yang muncul sebanding dengan angkanya. Misalnya mata 6 dua kali mungkin muncul dari mata 3. Sebut A = {bilangan genap}, B = {bilangan prima} dan C = {bilangan ganjil}
   1. Tulis ruang kemungkinan, artinya hitunglah nilai kemungkinan ditiap titik sampel
   2. Cari P(A), P(B), dan P(C)
   3. Cari nilai kemungkinan bahwa suatu bilangan genap atau prima muncul, juga A terjadi tetapi B tidak terjadi
2. Bilamana jurusan statistika dengan kapasitas tampung yang terbatas hendak menerima dua orang sebagai mahasiswa, dari 5 orang calon mahasiswa lulusan SMA, 3 orang lulusan SK, serta 2 orang lulusan MTs yang memiliki kesempatan yang sama. Tentukan :
   1. Peluang bahwa Jurusan menerima lulusan SMU dan menerima salah satu diantara SK dan MTs
   2. Sedikitnya jurusan menerima 1 orang sebagai mahasiswa dari SMU

Menghitung Titik Sampel

• Teorema 1.2.1:

Dengan m unsur a₁, a₂, a₃, …, a_m dan n unsur b₁, b₂, b₃, …, b_n,, memungkinkan membentuk m.n pasangan yang mengandungsuatu unsur dari setiap kelompok

Contoh:

1. Tentukan jumlah titik sampel di S dari pengamatan angka-angka hasil pelantunan sepasang dadu.

Jawab:

Ruang sampel S akan terdiri dari himpunan semua pasangan yang mungkin (x,y), dimana x dan y merupakan bilangan bulat antara 1 s.d 6. baik dadu pertama maupun kedua dapat menghasilkan satu angka diantara 6. maka m=n=6, sehingga banyaknya titik sampel S adalah m.n = 36.

1. Suatu percobaan pencatatan hari lahir untuk masing-masing dari 20 orang. Tentukan peluang bahwa kedua puluh orang tersebut memiliki hari lahir yang berbeda

Jawab:

Jumlah Titik sampel utk pengamatan di atas adalah : (365)²⁰

Kejadian A : dari 20 orang yang diamati memiliki hari lahir berbeda

Jumlah kejadian A : n(A) = 365 . 364 . 363 .  …  346

Peluang kejadian A : P(A) = (365 . 364 . 363 .  …  346) /  (365)²⁰

Definisi 1.2.5

Banyaknya cara mengurutkan r objek yang berbeda yang diambil dari n objek yang berbeda, tanpa duplikasi (urutan diperhatikan) dinyatakan dengan  atau

Teorema 1.2.2

Contoh :

Dalam berapa cara suatu perusahaan dapat memilih diantara 10 orang yang akan menjadi kandidat untuk menempati 4 jabatan kosong yang berbeda.

Jawab :

= 5040

Teorema 1.2.2

Banyak cara mempartisi n objek yang berbeda ke dalam k kelompok yang berbeda , berturut-turut mengandung n₁, n₂, n₃, …, n_m objek adalah :

dengan  n₁ + n₂ + n₃ + …+ n_m = n

Biasa juga dinotasikan dengan :

Contoh :

Bila perusahaan membutuhkan 20 tenaga kerja untuk ditempatkan di bidang A sebanyak 10 orang, bidang B sebanyak 5 orang, bidang C sebanyak 3 orang, dan bidang D sebanyak 2 Orang. Dari hasil seleksi telah diterima 20 orang untuk ditempatkan di 4 bidang tersebut. Dengan berapa cara perusahaan dapat menempatan 20 orang pelamar tsb kedalam bidang-bidang di atas ?

Jawab :

₌

Definisi 1.2.6

Banyaknya kombinasi dalam mengambil r objek dari n objek yang ada, tanpa memperhatikan urutan (duplikasi diijinkan) dinyatakan dengan  atau

Teorema 1.2.3

Contoh :

Tentukan banyak cara menempatkan 20 orang pelamar kedalam satu jenis pekerjaan yang memerlukan 5 pekerja.

Jawab :

Latihan :

1. Dalam suatu kelas terdiri 12 orang laki-laki dan 4 orang wanita. Jika 3 orang mahasiswa dipilih secara acak untuk mewakili kelas tersebut, tentukan kemungkinan bahwa mereka semua laki-laki.
2. Empat orang A,B,C, dan D masing-masing dibagi 13 kartu bridge dari sebungkus kartu berisi 52 buah. Jika B tidak memiliki Ace, tentukan nilai kemungkinan bahwa pasangannya A mempunyai dua kartu Ace.